Questions: Records indicate that the mean weight of mature chinook salmon is 33.4 kg. After years of major overfishing, biologists estimate that the current mean weight of mature chinook salmon is 14.1 kg. Assume the current weights follow a normal distribution with a standard deviation of 0.3 kg. To test whether the population mean has changed, a random sample of 10 mature chinook salmon will be selected and their weights will be measured. (a) State the null and alternative hypotheses. (b) Find the critical value(s). (c) Perform a hypothesis test. Use α = 0.05. The value of the test statistic is given by z = (x̄ - μ0) / (σ/sqrt(n)) where x̄ is the sample mean and μ0 is the hypothesized population mean.

Solution Steps

As hipóteses para o teste são definidas como:

• Hipótese Nula (\(H_0\)): \( \mu = 33.4 \, \text{kg} \) (O peso médio dos salmões chinook maduros não mudou)
• Hipótese Alternativa (\(H_1\)): \( \mu \neq 33.4 \, \text{kg} \) (O peso médio dos salmões chinook maduros mudou)

Para um teste bicaudal com nível de significância \( \alpha = 0.05 \), os valores críticos são:

• \( z_{c} = -1.9600 \) e \( z_{c} = 1.9600 \)

O erro padrão (\(SE\)) é calculado como: \[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.3}{\sqrt{10}} \approx 0.0949 \]

A estatística do teste (\(t_{test}\)) é dada por: \[ t_{test} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{SE} = \frac{14.1 - 33.4}{0.0949} \approx -203.4399 \]

Para um teste bicaudal, o valor-p é calculado como: \[ P = 2 \times (1 - T(|z|)) \approx 0.0000 \]

Comparando a estatística do teste com os valores críticos:

• \( t_{test} = -203.4399 < -1.9600 \)

Portanto, rejeitamos a hipótese nula.

• Hipótese Nula: \(H_0: \mu = 33.4 \, \text{kg}\)
• Hipótese Alternativa: \(H_1: \mu \neq 33.4 \, \text{kg}\)
• Valores Críticos: \(-1.9600, 1.9600\)
• Erro Padrão: \(SE \approx 0.0949\)
• Estatística do Teste: \(t_{test} \approx -203.4399\)
• Valor-P: \(P \approx 0.0000\)
• Decisão: Rejeitar \(H_0\)

Final Answer