Questions: 2. (2점) 어떤 보험회사에서 올해부터 매년말 1,000 만원씩 10 년 동안 보험료를 불입하면, 완납 다음 해부터 이 보험회사에서 가입자에게 연말에 1,000 만원씩을 영구히 지급하겠다는 광고방송이 나갔다고 하자. 이 때, 이러한 광고내용이 공정한 거래가 되기 위해서는 이자율이 얼마가 되어야 하겠는가?

Solution Steps

To determine the interest rate that makes the insurance company's offer a fair deal, we need to equate the present value of the payments made by the subscriber to the present value of the perpetual payments made by the company. The subscriber pays 1,000 만원 annually for 10 years, and the company pays 1,000 만원 annually forever starting from the 11th year. We will use the formula for the present value of an annuity for the subscriber's payments and the formula for the present value of a perpetuity for the company's payments. By equating these two present values, we can solve for the interest rate.

가입자가 매년 말 1,000 만원을 10년 동안 불입하는 경우, 이 보험료의 현재 가치는 다음과 같이 계산됩니다:

\[ PV_{\text{subscriber}} = 1000 \times \left( \frac{1 - (1 + r)^{-10}}{r} \right) \]

보험회사가 가입자에게 11년 차부터 영구적으로 매년 1,000 만원을 지급하는 경우, 이 보험금의 현재 가치는 다음과 같이 계산됩니다:

\[ PV_{\text{company}} = \frac{1000}{r} \times (1 + r)^{-10} \]

공정 거래가 이루어지기 위해서는 가입자가 지불하는 보험료의 현재 가치와 보험회사가 지급하는 보험금의 현재 가치가 같아야 합니다. 따라서 다음과 같은 방정식을 설정합니다:

\[ PV_{\text{subscriber}} = PV_{\text{company}} \]

즉,

\[ 1000 \times \left( \frac{1 - (1 + r)^{-10}}{r} \right) = \frac{1000}{r} \times (1 + r)^{-10} \]

위의 방정식을 풀어 이자율 \( r \)을 구한 결과,

\[ r \approx 0.0718 \]

Final Answer