Questions: Calcule a integral em coordenadas esféricas [ iiintleft(x^2+y^2+z^2right)^3 / 2 d V ] onde B é a bola com centro na origem e raio 4.

Transcript text: 5. (1,6 pontos) Calcule a integral em coordenadas esféricas \[ \iiint\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2} d V \] onde B é a bola com centro na origem e raio 4 .

Solution

Solution Steps

To solve the given integral in spherical coordinates, we need to convert the Cartesian coordinates \(x\), \(y\), and \(z\) to spherical coordinates \( \rho \), \( \theta \), and \( \phi \). The integral will then be evaluated over the volume of a sphere with radius 4. The conversion formulas are:

\( x = \rho \sin \phi \cos \theta \)
\( y = \rho \sin \phi \sin \theta \)
\( z = \rho \cos \phi \)
The volume element \( dV \) in spherical coordinates is \( \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \).

The integrand \( (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2} \) simplifies to \( \rho^3 \) in spherical coordinates. The limits for \( \rho \) are from 0 to 4, for \( \phi \) from 0 to \( \pi \), and for \( \theta \) from 0 to \( 2\pi \).

Step 1: Definição da Integral

A integral a ser calculada é dada por: \[ \iiint_B (x^2 + y^2 + z^2)^{3/2} \, dV \] onde \( B \) é a bola com centro na origem e raio 4. Em coordenadas esféricas, temos \( x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2 \), então a integral se torna: \[ \iiint_B \rho^3 \, dV \]

Step 2: Conversão para Coordenadas Esféricas

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume \( dV \) é dado por: \[ dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \] Portanto, a integral se transforma em: \[ \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^4 \rho^3 \cdot \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \] que simplifica para: \[ \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi} \sin \phi \, d\phi \int_0^4 \rho^5 \, d\rho \]

Step 3: Cálculo das Integrais

Calculamos cada parte da integral:

A integral em relação a \( \rho \): \[ \int_0^4 \rho^5 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^6}{6} \right]_0^4 = \frac{4^6}{6} = \frac{4096}{6} = \frac{2048}{3} \]
A integral em relação a \( \phi \): \[ \int_0^{\pi} \sin \phi \, d\phi = \left[ -\cos \phi \right]_0^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 \]
A integral em relação a \( \theta \): \[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \]

Step 4: Combinação dos Resultados

Agora, combinamos os resultados das integrais: \[ \text{Integral total} = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{2048}{3} = \frac{8192\pi}{3} \]