To analyze the continuity of the function \( f(x, y) \), we need to check if the limit of \( f(x, y) \) as \((x, y) \) approaches \((0, 0) \) is equal to the value of the function at \((0, 0) \). Specifically, we need to:
- Calculate the limit of \( f(x, y) \) as \((x, y) \) approaches \((0, 0) \) along different paths.
- Compare the limit to the value of the function at \((0, 0) \).
Para analizar la continuidad de la función \( f(x, y) \) en el punto \((0,0)\), debemos verificar si:
\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = f(0,0)
\]
Sabemos que \( f(0,0) = 0 \). Por lo tanto, necesitamos calcular el límite de \( f(x, y) \) cuando \((x, y)\) se aproxima a \((0,0)\).
La función \( f(x, y) \) está definida como:
\[
f(x, y) = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{4}-x} \quad \text{si} \quad (x, y) \neq (0,0)
\]
Vamos a evaluar el límite por diferentes caminos para ver si el límite depende del camino tomado.
Si \( y = 0 \), entonces:
\[
f(x, 0) = \frac{x^{2}}{x^{2} - x}
\]
Simplificamos:
\[
f(x, 0) = \frac{x^{2}}{x(x - 1)} = \frac{x}{x - 1}
\]
Tomamos el límite cuando \( x \to 0 \):
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{x - 1} = \frac{0}{0 - 1} = 0
\]
Si \( x = 0 \), entonces:
\[
f(0, y) = \frac{0^{2}}{0^{2} + y^{4} - 0} = 0
\]
Tomamos el límite cuando \( y \to 0 \):
\[
\lim_{y \to 0} f(0, y) = 0
\]
Si \( y = x^{1/2} \), entonces:
\[
f(x, x^{1/2}) = \frac{x^{2}}{x^{2} + (x^{1/2})^{4} - x} = \frac{x^{2}}{x^{2} + x^{2} - x} = \frac{x^{2}}{2x^{2} - x}
\]
Simplificamos:
\[
f(x, x^{1/2}) = \frac{x^{2}}{x(2x - 1)} = \frac{x}{2x - 1}
\]
Tomamos el límite cuando \( x \to 0 \):
\[
\lim_{x \to 0} \frac{x}{2x - 1} = \frac{0}{0 - 1} = 0
\]
Hemos evaluado el límite de \( f(x, y) \) por diferentes caminos y en todos los casos el límite es 0. Por lo tanto:
\[
\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x, y) = 0 = f(0,0)
\]
La función \( f(x, y) \) es continua en el punto \((0,0)\).
\[
\boxed{\text{La función es continua en } (0,0)}
\]
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