Questions: Sea (X1, X2, ldots) una sucesión de variables aleatorias independientes con la misma distribución (operatornameBer(p)), e independientes de otra variable aleatoria (N) con distribución Poisson ((lambda)). Demuestre que [ X=sumi=1^N Xi sim operatornamePoisson(lambda p) ] Cuando (N=0) la suma es vacía y se define ésta como cero. Si (N) representa el número de delitos ocurridos de los cuales sólo la fracción (p) son reportados a la autoridad, entonces (X) representa el número de delitos reportados.

Se considera una variable aleatoria \( X_i \) que sigue una distribución Bernoulli \( \operatorname{Ber}(p) \) con \( p = 0.3 \). Los resultados obtenidos son:

• \( P(X = 1) = p = 0.3 \)
• \( P(X = 0) = 1 - p = 0.7 \)

Las características estadísticas de esta distribución son:

• Media: \[ \mu = 1 \cdot p + 0 \cdot (1 - p) = p = 0.3 \]
• Varianza: \[ \sigma^2 = p(1 - p) = p \cdot q = 0.3 \cdot 0.7 = 0.21 \]
• Desviación estándar: \[ \sigma = \sqrt{pq} = \sqrt{0.3 \cdot 0.7} \approx 0.4583 \]

Se considera una variable aleatoria \( N \) que sigue una distribución Poisson con parámetro \( \lambda = 1.5 \). Las características estadísticas de esta distribución son:

• Media: \[ \mu = \lambda = 1.5 \]
• Varianza: \[ \sigma^2 = \lambda = 1.5 \]
• Desviación estándar: \[ \sigma = \sqrt{\lambda} \approx 1.2247 \]

Se define \( X = \sum_{i=1}^{N} X_i \). Dado que \( N \) sigue una distribución Poisson y \( X_i \) son variables independientes y idénticamente distribuidas, se puede demostrar que \( X \) sigue una distribución Poisson con parámetro \( \lambda p \).

Calculando \( \lambda p \): \[ \lambda p = 1.5 \cdot 0.3 = 0.45 \]

La media y la varianza de \( X \) son:

• Media de \( X \): \[ \mu_X = \lambda p = 0.45 \]
• Varianza de \( X \): \[ \sigma^2_X = \lambda p = 0.45 \]

Se ha demostrado que la suma de variables aleatorias independientes \( X \) sigue una distribución Poisson con parámetro \( \lambda p \). Los resultados son consistentes con las propiedades de las distribuciones involucradas.

\(\boxed{X \sim \operatorname{Poisson}(0.45)}\)