Questions: A aplicabilidade das derivadas de funções é imensurável, podendo ser aplicadas em diversas áreas de estudo e em inúmeros contextos. Sabendo disso, determine a equação da reta tangente a y^2-4xy=12 e o ponto (1,6). A y=3x+3. B y=4x+2. C y=3x+5. D y=6x+3. E y=7x+1.

Dada a equação \( y^2 - 4xy = 12 \), precisamos encontrar a derivada implícita para determinar a inclinação da reta tangente no ponto \((1, 6)\).

Diferenciando ambos os lados em relação a \( x \):

\[ \frac{d}{dx}(y^2) - \frac{d}{dx}(4xy) = \frac{d}{dx}(12) \]

Usando a regra do produto e a regra da cadeia, obtemos:

\[ 2y \frac{dy}{dx} - (4y + 4x \frac{dy}{dx}) = 0 \]

Rearranjando os termos:

\[ 2y \frac{dy}{dx} - 4x \frac{dy}{dx} = 4y \]

\[ \frac{dy}{dx}(2y - 4x) = 4y \]

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4y}{2y - 4x} \]

Substituímos o ponto \((1, 6)\) na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{4(6)}{2(6) - 4(1)} = \frac{24}{12 - 4} = \frac{24}{8} = 3 \]

A equação da reta tangente é dada por:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Substituindo \( m = 3 \), \( x_1 = 1 \), e \( y_1 = 6 \):

\[ y - 6 = 3(x - 1) \]

\[ y - 6 = 3x - 3 \]

\[ y = 3x + 3 \]

A equação da reta tangente é \(\boxed{y = 3x + 3}\). Portanto, a resposta correta é a opção A.