a) To verify the derivative, we need to differentiate the function \( f(x) = \sqrt{1 + x^2} \) with respect to \( x \) and check if it equals \( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \).
b) To determine if the function is injective, we need to check if \( f(x_1) = f(x_2) \) implies \( x_1 = x_2 \) for all \( x_1, x_2 \in \mathbb{R} \).
a) To show that \( f(x) \geq 1 \) for all \( x \in \mathbb{R} \), we need to analyze the expression \( \sqrt{1 + x^2} \) and demonstrate that it is always greater than or equal to 1.
b) To determine if the function is surjective, we need to check if for every \( y \in \mathbb{R} \), there exists an \( x \in \mathbb{R} \) such that \( f(x) = y \).
Nous avons la fonction \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \). En dérivant cette fonction, nous obtenons :
\[
f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
\]
Cela confirme que pour tout \( x \in \mathbb{R} \), \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \).
Pour vérifier si \( f \) est injective, nous considérons l'équation \( f(x_1) = f(x_2) \), ce qui nous donne :
\[
\sqrt{x_1^2 + 1} = \sqrt{x_2^2 + 1}
\]
En élevant au carré, nous obtenons :
\[
x_1^2 + 1 = x_2^2 + 1 \implies x_1^2 = x_2^2
\]
Cela implique que \( x_1 = x_2 \) ou \( x_1 = -x_2 \). Ainsi, \( f \) n'est pas injective car il existe des valeurs différentes de \( x \) qui peuvent donner la même valeur de \( f(x) \).
Pour montrer que \( f(x) \geq 1 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \), nous évaluons \( f(0) \) :
\[
f(0) = \sqrt{0^2 + 1} = 1
\]
De plus, comme \( x^2 \geq 0 \) pour tout \( x \), nous avons \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \geq \sqrt{1} = 1 \). Donc, \( f(x) \geq 1 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
Pour vérifier si \( f \) est surjective, nous devons résoudre l'équation \( f(x) = y \) pour \( y \in \mathbb{R} \) :
\[
\sqrt{x^2 + 1} = y
\]
En élevant au carré, nous obtenons :
\[
x^2 + 1 = y^2 \implies x^2 = y^2 - 1
\]
Cela donne les solutions :
\[
x = \pm \sqrt{y^2 - 1}
\]
Cependant, pour que \( x \) soit réel, il faut que \( y^2 - 1 \geq 0 \), ce qui implique que \( |y| \geq 1 \). Ainsi, \( f \) n'est pas surjective car il n'atteint pas toutes les valeurs de \( \mathbb{R} \).
- \( f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
- \( f \) n'est pas injective.
- \( f(x) \geq 1 \) pour tout \( x \in \mathbb{R} \).
- \( f \) n'est pas surjective.
\(\boxed{f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}, \text{ non injective}, f(x) \geq 1, \text{ non surjective}}\)
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