Questions: En un reloj analógico el minutero da una vuelta en 60 min. La aguja horaria da una vuelta completa en 12 horas. Determina: a) La velocidad angular del minutero y de la aguja horaria en rad/min. b) Si las dos agujas están coincidiendo a las 12:00 h, encuentre a qué hora se vuelven a encontrar las agujas por primera vez. (Note que el minutero ya ha dado una vuelta completa cuando se encuentran) c) Determina el ángulo que forma la aguja horaria respecto a la vertical cuando ocurre este encuentro.

En un reloj analógico el minutero da una vuelta en 60 min. La aguja horaria da una vuelta completa en 12 horas. Determina:
a) La velocidad angular del minutero y de la aguja horaria en rad/min.
b) Si las dos agujas están coincidiendo a las 12:00 h, encuentre a qué hora se vuelven a encontrar las agujas por primera vez. (Note que el minutero ya ha dado una vuelta completa cuando se encuentran)
c) Determina el ángulo que forma la aguja horaria respecto a la vertical cuando ocurre este encuentro.

Transcript text: En un reloj analógico el minutero da una vuelta en 60 min . La aguja horaria da una vuelta completa en 12 horas. Determina: a) La velocidad angular del minutero y de la aguja horaria en rad $/ \mathrm{min}$. b) Si las dos agujas están coincidiendo a las 12:00 h, encuentre a qué hora se vuelven a encontrar las agujas por primera vez. (Note que el minutero ya ha dado una vuelta completa cuando se encuentran) c) Determina el ángulo que forma la aguja horaria respecto a la vertical cuando ocurre este encuentro.

Solution

Paso 1: Calcular la velocidad angular del minutero

La velocidad angular ($\omega$) se calcula como el ángulo recorrido por unidad de tiempo. Para el minutero, que da una vuelta completa de $2\pi$ radianes en 60 minutos, la velocidad angular es:

\[ \omega_{\text{minutero}} = \frac{2\pi \, \text{rad}}{60 \, \text{min}} = \frac{\pi}{30} \, \text{rad/min} \]

Paso 2: Calcular la velocidad angular de la aguja horaria

La aguja horaria da una vuelta completa de $2\pi$ radianes en 12 horas, lo que equivale a 720 minutos. Por lo tanto, su velocidad angular es:

\[ \omega_{\text{horaria}} = \frac{2\pi \, \text{rad}}{720 \, \text{min}} = \frac{\pi}{360} \, \text{rad/min} \]

Paso 3: Determinar cuándo se vuelven a encontrar las agujas

Para que las agujas se vuelvan a encontrar, la diferencia angular entre ellas debe ser un múltiplo de $2\pi$. La diferencia de velocidades angulares es:

\[ \Delta \omega = \omega_{\text{minutero}} - \omega_{\text{horaria}} = \frac{\pi}{30} - \frac{\pi}{360} = \frac{12\pi}{360} - \frac{\pi}{360} = \frac{11\pi}{360} \, \text{rad/min} \]

El tiempo $t$ que tarda en volver a coincidir es cuando la diferencia angular es $2\pi$:

\[ \Delta \omega \cdot t = 2\pi \implies \frac{11\pi}{360} \cdot t = 2\pi \]

Resolviendo para $t$:

\[ t = \frac{2\pi \cdot 360}{11\pi} = \frac{720}{11} \approx 65.4545 \, \text{min} \]

Esto significa que las agujas se vuelven a encontrar aproximadamente 65 minutos y 27 segundos después de las 12:00.

Paso 4: Determinar el ángulo de la aguja horaria respecto a la vertical

La aguja horaria se mueve a una velocidad de $\frac{\pi}{360} \, \text{rad/min}$. Después de $65.4545$ minutos, el ángulo que ha recorrido es:

\[ \theta_{\text{horaria}} = \omega_{\text{horaria}} \cdot t = \frac{\pi}{360} \cdot 65.4545 \approx 0.5724 \, \text{rad} \]

Respuesta Final

a) La velocidad angular del minutero es $\boxed{\frac{\pi}{30} \, \text{rad/min}}$ y de la aguja horaria es $\boxed{\frac{\pi}{360} \, \text{rad/min}}$.

b) Las agujas se vuelven a encontrar por primera vez a las $\boxed{1:05:27}$.

c) El ángulo que forma la aguja horaria respecto a la vertical es $\boxed{0.5724 \, \text{rad}}$.

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