Questions: 원 x^2+y^2=4 와 직선 2x-y+k=0 이 만나 서 생기는 현의 길이가 8√5/5 일 때, 상수 k 의 값 을 모두 구하시오.

Solution Steps

To solve for the constant \( k \) where the circle \( x^2 + y^2 = 4 \) and the line \( 2x - y + k = 0 \) intersect to form a chord of length \( \frac{8 \sqrt{5}}{5} \), we can follow these steps:

1. Find the distance from the center of the circle to the line: The center of the circle is at the origin \((0, 0)\). Use the formula for the distance from a point to a line.
2. Use the relationship between the chord length and the perpendicular distance: The length of the chord \( L \) is related to the radius \( r \) and the perpendicular distance \( d \) from the center to the line by the formula \( L = 2 \sqrt{r^2 - d^2} \).
3. Solve for \( k \): Substitute the given chord length and the radius into the formula and solve for \( k \).

주어진 원의 방정식은 \(x^2 + y^2 = 4\)이고, 직선의 방정식은 \(2x - y + k = 0\)입니다.

원의 중심은 \((0, 0)\)이고, 반지름은 \(r = 2\)입니다.

직선의 방정식을 \(y = 2x + k\)로 변환합니다.

직선의 방정식을 원의 방정식에 대입합니다: \[ x^2 + (2x + k)^2 = 4 \] \[ x^2 + 4x^2 + 4kx + k^2 = 4 \] \[ 5x^2 + 4kx + k^2 - 4 = 0 \]

현의 길이는 두 교점 사이의 거리입니다. 이차방정식의 판별식 \(D\)를 사용하여 교점의 존재를 확인합니다: \[ D = b^2 - 4ac \] 여기서 \(a = 5\), \(b = 4k\), \(c = k^2 - 4\)입니다. \[ D = (4k)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (k^2 - 4) \] \[ D = 16k^2 - 20(k^2 - 4) \] \[ D = 16k^2 - 20k^2 + 80 \] \[ D = -4k^2 + 80 \]

현의 길이 \(L\)는 다음과 같이 주어집니다: \[ L = 2 \sqrt{r^2 - d^2} \] 여기서 \(d\)는 원의 중심에서 직선까지의 거리입니다. 주어진 현의 길이는 \(\frac{8\sqrt{5}}{5}\)입니다. \[ \frac{8\sqrt{5}}{5} = 2 \sqrt{4 - d^2} \] \[ \frac{4\sqrt{5}}{5} = \sqrt{4 - d^2} \] 양변을 제곱합니다: \[ \left(\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 4 - d^2 \] \[ \frac{80}{25} = 4 - d^2 \] \[ 3.2 = 4 - d^2 \] \[ d^2 = 0.8 \] \[ d = \sqrt{0.8} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

원의 중심에서 직선까지의 거리는 다음과 같이 구합니다: \[ d = \frac{|2 \cdot 0 - 0 + k|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}} \] \[ \frac{|k|}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] 양변에 \(\sqrt{5}\)를 곱합니다: \[ |k| = 2 \]

Final Answer