Questions: 16. 원 (x-a)^2+(y-b)^2=a+b^2+b-8 을 x 축의 방향 으로 -4 만큼 평행이동한 도형이 직선 y=x 와 x 축 에 동시에 접할 때, ab 의 값은? (단, a>0, b>0 )
(1) 6
(2) 7
(3) 8
(4) 9
x-y=0
(5) 10
Transcript text: 16. 원 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a+b^{2}+b-8$ 을 $x$ 축의 방향 으로 -4 만큼 평행이동한 도형이 직선 $y=x$ 와 $x$ 축 에 동시에 접할 때, $a b$ 의 값은? (단, $a>0, b>0$ )
(1) 6
(2) 7
(3) 8
(4) 9
$x-y=0$
(5) 10
Solution
Solution Steps
To solve this problem, we need to follow these steps:
Identify the center and radius of the original circle.
Apply the translation to the circle.
Determine the conditions for the circle to be tangent to both the line y=x and the x-axis.
Solve for a and b under these conditions.
Step 1: 원의 방정식 이해하기
주어진 원의 방정식은 (x−a)2+(y−b)2=a+b2+b−8입니다. 이 방정식은 중심이 (a,b)이고 반지름이 a+b2+b−8인 원을 나타냅니다.
Step 2: 원의 평행이동
원을 x축 방향으로 -4만큼 평행이동하면 새로운 원의 중심은 (a−4,b)가 됩니다. 따라서 새로운 원의 방정식은 (x−(a−4))2+(y−b)2=a+b2+b−8입니다.
Step 3: 원이 직선 y=x와 x축에 동시에 접할 조건
원이 직선 y=x와 x축에 동시에 접한다는 것은 원의 중심 (a−4,b)에서 이 두 직선까지의 거리가 모두 반지름과 같다는 것을 의미합니다.
원의 중심에서 x축까지의 거리: b
원의 중심에서 직선 y=x까지의 거리: 2∣(a−4)−b∣
이 두 거리가 반지름 a+b2+b−8와 같아야 합니다.
Step 4: 거리 조건 설정
두 거리 조건을 설정하면 다음과 같습니다:
b=a+b2+b−8
2∣(a−4)−b∣=a+b2+b−8
Step 5: 첫 번째 거리 조건 풀기
먼저 b=a+b2+b−8를 제곱하여 풀어봅시다:
b2=a+b2+b−80=a+b−8a+b=8
Step 6: 두 번째 거리 조건 풀기
두 번째 거리 조건을 풀어봅시다:
2∣(a−4)−b∣=a+b2+b−82∣(a−4)−b∣=b∣(a−4)−b∣=b2
두 가지 경우로 나눠서 생각해봅시다:
(a−4)−b=b2
(a−4)−b=−b2
Step 7: 첫 번째 경우 풀기
첫 번째 경우를 풀어봅시다:
a−4−b=b2a−4=b+b2a−4=b(1+2)b=1+2a−4