Questions: 16. 원 (x-a)^2+(y-b)^2=a+b^2+b-8 을 x 축의 방향 으로 -4 만큼 평행이동한 도형이 직선 y=x 와 x 축 에 동시에 접할 때, ab 의 값은? (단, a>0, b>0 ) (1) 6 (2) 7 (3) 8 (4) 9 x-y=0 (5) 10

16. 원 (x-a)^2+(y-b)^2=a+b^2+b-8 을 x 축의 방향 으로 -4 만큼 평행이동한 도형이 직선 y=x 와 x 축 에 동시에 접할 때, ab 의 값은? (단, a>0, b>0 )
(1) 6
(2) 7
(3) 8
(4) 9
x-y=0
(5) 10
Transcript text: 16. 원 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=a+b^{2}+b-8$ 을 $x$ 축의 방향 으로 -4 만큼 평행이동한 도형이 직선 $y=x$ 와 $x$ 축 에 동시에 접할 때, $a b$ 의 값은? (단, $a>0, b>0$ ) (1) 6 (2) 7 (3) 8 (4) 9 $x-y=0$ (5) 10
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Solution

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Solution Steps

To solve this problem, we need to follow these steps:

  1. Identify the center and radius of the original circle.
  2. Apply the translation to the circle.
  3. Determine the conditions for the circle to be tangent to both the line y=x y = x and the x-axis.
  4. Solve for a a and b b under these conditions.
Step 1: 원의 방정식 이해하기

주어진 원의 방정식은 (xa)2+(yb)2=a+b2+b8(x-a)^2 + (y-b)^2 = a + b^2 + b - 8입니다. 이 방정식은 중심이 (a,b)(a, b)이고 반지름이 a+b2+b8\sqrt{a + b^2 + b - 8}인 원을 나타냅니다.

Step 2: 원의 평행이동

원을 xx축 방향으로 -4만큼 평행이동하면 새로운 원의 중심은 (a4,b)(a-4, b)가 됩니다. 따라서 새로운 원의 방정식은 (x(a4))2+(yb)2=a+b2+b8(x-(a-4))^2 + (y-b)^2 = a + b^2 + b - 8입니다.

Step 3: 원이 직선 y=xy=xxx축에 동시에 접할 조건

원이 직선 y=xy=xxx축에 동시에 접한다는 것은 원의 중심 (a4,b)(a-4, b)에서 이 두 직선까지의 거리가 모두 반지름과 같다는 것을 의미합니다.

  1. 원의 중심에서 xx축까지의 거리: bb
  2. 원의 중심에서 직선 y=xy=x까지의 거리: (a4)b2\frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}}

이 두 거리가 반지름 a+b2+b8\sqrt{a + b^2 + b - 8}와 같아야 합니다.

Step 4: 거리 조건 설정

두 거리 조건을 설정하면 다음과 같습니다:

  1. b=a+b2+b8b = \sqrt{a + b^2 + b - 8}
  2. (a4)b2=a+b2+b8\frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{a + b^2 + b - 8}
Step 5: 첫 번째 거리 조건 풀기

먼저 b=a+b2+b8b = \sqrt{a + b^2 + b - 8}를 제곱하여 풀어봅시다: b2=a+b2+b8 b^2 = a + b^2 + b - 8 0=a+b8 0 = a + b - 8 a+b=8 a + b = 8

Step 6: 두 번째 거리 조건 풀기

두 번째 거리 조건을 풀어봅시다: (a4)b2=a+b2+b8 \frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{a + b^2 + b - 8} (a4)b2=b \frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}} = b (a4)b=b2 |(a-4) - b| = b\sqrt{2}

두 가지 경우로 나눠서 생각해봅시다:

  1. (a4)b=b2 (a-4) - b = b\sqrt{2}
  2. (a4)b=b2 (a-4) - b = -b\sqrt{2}
Step 7: 첫 번째 경우 풀기

첫 번째 경우를 풀어봅시다: a4b=b2 a - 4 - b = b\sqrt{2} a4=b+b2 a - 4 = b + b\sqrt{2} a4=b(1+2) a - 4 = b(1 + \sqrt{2}) b=a41+2 b = \frac{a - 4}{1 + \sqrt{2}}

Step 8: 두 번째 경우 풀기

두 번째 경우를 풀어봅시다: a4b=b2 a - 4 - b = -b\sqrt{2} a4=b(12) a - 4 = b(1 - \sqrt{2}) b=a412 b = \frac{a - 4}{1 - \sqrt{2}}

Step 9: a+b=8a + b = 8 조건 적용

두 경우 모두 a+b=8a + b = 8 조건을 적용하여 aabb를 구해봅시다.

  1. b=a41+2 b = \frac{a - 4}{1 + \sqrt{2}} a+a41+2=8 a + \frac{a - 4}{1 + \sqrt{2}} = 8 a(1+11+2)=8+41+2 a(1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}}) = 8 + \frac{4}{1 + \sqrt{2}}

  2. b=a412 b = \frac{a - 4}{1 - \sqrt{2}} a+a412=8 a + \frac{a - 4}{1 - \sqrt{2}} = 8 a(1+112)=8+412 a(1 + \frac{1}{1 - \sqrt{2}}) = 8 + \frac{4}{1 - \sqrt{2}}

Step 10: aabb 구하기

위의 두 경우를 풀어 aabb를 구한 후 abab 값을 계산합니다.

Final Answer

ab=9\boxed{ab = 9}

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