To solve this problem, we need to follow these steps:
- Identify the center and radius of the original circle.
- Apply the translation to the circle.
- Determine the conditions for the circle to be tangent to both the line \( y = x \) and the x-axis.
- Solve for \( a \) and \( b \) under these conditions.
주어진 원의 방정식은 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = a + b^2 + b - 8\)입니다. 이 방정식은 중심이 \((a, b)\)이고 반지름이 \(\sqrt{a + b^2 + b - 8}\)인 원을 나타냅니다.
원을 \(x\)축 방향으로 -4만큼 평행이동하면 새로운 원의 중심은 \((a-4, b)\)가 됩니다. 따라서 새로운 원의 방정식은 \((x-(a-4))^2 + (y-b)^2 = a + b^2 + b - 8\)입니다.
원이 직선 \(y=x\)와 \(x\)축에 동시에 접한다는 것은 원의 중심 \((a-4, b)\)에서 이 두 직선까지의 거리가 모두 반지름과 같다는 것을 의미합니다.
- 원의 중심에서 \(x\)축까지의 거리: \(b\)
- 원의 중심에서 직선 \(y=x\)까지의 거리: \(\frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}}\)
이 두 거리가 반지름 \(\sqrt{a + b^2 + b - 8}\)와 같아야 합니다.
두 거리 조건을 설정하면 다음과 같습니다:
- \(b = \sqrt{a + b^2 + b - 8}\)
- \(\frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{a + b^2 + b - 8}\)
먼저 \(b = \sqrt{a + b^2 + b - 8}\)를 제곱하여 풀어봅시다:
\[ b^2 = a + b^2 + b - 8 \]
\[ 0 = a + b - 8 \]
\[ a + b = 8 \]
두 번째 거리 조건을 풀어봅시다:
\[ \frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{a + b^2 + b - 8} \]
\[ \frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}} = b \]
\[ |(a-4) - b| = b\sqrt{2} \]
두 가지 경우로 나눠서 생각해봅시다:
- \( (a-4) - b = b\sqrt{2} \)
- \( (a-4) - b = -b\sqrt{2} \)
첫 번째 경우를 풀어봅시다:
\[ a - 4 - b = b\sqrt{2} \]
\[ a - 4 = b + b\sqrt{2} \]
\[ a - 4 = b(1 + \sqrt{2}) \]
\[ b = \frac{a - 4}{1 + \sqrt{2}} \]
두 번째 경우를 풀어봅시다:
\[ a - 4 - b = -b\sqrt{2} \]
\[ a - 4 = b(1 - \sqrt{2}) \]
\[ b = \frac{a - 4}{1 - \sqrt{2}} \]
두 경우 모두 \(a + b = 8\) 조건을 적용하여 \(a\)와 \(b\)를 구해봅시다.
\( b = \frac{a - 4}{1 + \sqrt{2}} \)
\[ a + \frac{a - 4}{1 + \sqrt{2}} = 8 \]
\[ a(1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}}) = 8 + \frac{4}{1 + \sqrt{2}} \]
\( b = \frac{a - 4}{1 - \sqrt{2}} \)
\[ a + \frac{a - 4}{1 - \sqrt{2}} = 8 \]
\[ a(1 + \frac{1}{1 - \sqrt{2}}) = 8 + \frac{4}{1 - \sqrt{2}} \]
위의 두 경우를 풀어 \(a\)와 \(b\)를 구한 후 \(ab\) 값을 계산합니다.
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