Questions: 16. 원 (x-a)^2+(y-b)^2=a+b^2+b-8 을 x 축의 방향 으로 -4 만큼 평행이동한 도형이 직선 y=x 와 x 축 에 동시에 접할 때, ab 의 값은? (단, a>0, b>0 ) (1) 6 (2) 7 (3) 8 (4) 9 x-y=0 (5) 10

Solution Steps

To solve this problem, we need to follow these steps:

1. Identify the center and radius of the original circle.
2. Apply the translation to the circle.
3. Determine the conditions for the circle to be tangent to both the line $y = x$ and the x-axis.
4. Solve for $a$ and $b$ under these conditions.

주어진 원의 방정식은 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = a + b^2 + b - 8$입니다. 이 방정식은 중심이 $(a, b)$이고 반지름이 $\sqrt{a + b^2 + b - 8}$인 원을 나타냅니다.

원을 $x$축 방향으로 -4만큼 평행이동하면 새로운 원의 중심은 $(a-4, b)$가 됩니다. 따라서 새로운 원의 방정식은 $(x-(a-4))^2 + (y-b)^2 = a + b^2 + b - 8$입니다.

원이 직선 $y=x$와 $x$축에 동시에 접한다는 것은 원의 중심 $(a-4, b)$에서 이 두 직선까지의 거리가 모두 반지름과 같다는 것을 의미합니다.

1. 원의 중심에서 $x$축까지의 거리: $b$
2. 원의 중심에서 직선 $y=x$까지의 거리: $\frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}}$

이 두 거리가 반지름 $\sqrt{a + b^2 + b - 8}$와 같아야 합니다.

두 거리 조건을 설정하면 다음과 같습니다:

1. $b = \sqrt{a + b^2 + b - 8}$
2. $\frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{a + b^2 + b - 8}$

먼저 $b = \sqrt{a + b^2 + b - 8}$를 제곱하여 풀어봅시다: $$b^2 = a + b^2 + b - 8$$ $$0 = a + b - 8$$ $$a + b = 8$$

두 번째 거리 조건을 풀어봅시다: $$\frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}} = \sqrt{a + b^2 + b - 8}$$ $$\frac{|(a-4) - b|}{\sqrt{2}} = b$$ $$|(a-4) - b| = b\sqrt{2}$$

두 가지 경우로 나눠서 생각해봅시다:

1. $(a-4) - b = b\sqrt{2}$
2. $(a-4) - b = -b\sqrt{2}$

첫 번째 경우를 풀어봅시다: $$a - 4 - b = b\sqrt{2}$$ $$a - 4 = b + b\sqrt{2}$$ $$a - 4 = b(1 + \sqrt{2})$$ $$b = \frac{a - 4}{1 + \sqrt{2}}$$

두 번째 경우를 풀어봅시다: $$a - 4 - b = -b\sqrt{2}$$ $$a - 4 = b(1 - \sqrt{2})$$ $$b = \frac{a - 4}{1 - \sqrt{2}}$$

두 경우 모두 $a + b = 8$ 조건을 적용하여 $a$와 $b$를 구해봅시다.

1. $b = \frac{a - 4}{1 + \sqrt{2}}$ $$a + \frac{a - 4}{1 + \sqrt{2}} = 8$$ $$a(1 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}}) = 8 + \frac{4}{1 + \sqrt{2}}$$

2. $b = \frac{a - 4}{1 - \sqrt{2}}$ $$a + \frac{a - 4}{1 - \sqrt{2}} = 8$$ $$a(1 + \frac{1}{1 - \sqrt{2}}) = 8 + \frac{4}{1 - \sqrt{2}}$$

위의 두 경우를 풀어 $a$와 $b$를 구한 후 $ab$ 값을 계산합니다.

Final Answer