Questions: Utilice las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones. a) f(x)=2 x^2 cos x-3 x^3 cot x

To find the derivative of the given function \( f(x) = 2x^2 \cos x - 3x^3 \cot x \), we will use the product rule and the chain rule. The product rule states that the derivative of a product of two functions is given by \( (uv)' = u'v + uv' \). The chain rule is used to differentiate composite functions.

1. Identify the two products in the function: \( 2x^2 \cos x \) and \( -3x^3 \cot x \).
2. Apply the product rule to each term separately.
3. Combine the results to get the final derivative.

La función dada es \[ f(x) = 2x^2 \cos(x) - 3x^3 \cot(x). \]

Para calcular la derivada \( f'(x) \), aplicamos la regla del producto a cada uno de los términos de la función.

1. Para el primer término \( 2x^2 \cos(x) \): \[ \frac{d}{dx}(2x^2 \cos(x)) = 2x^2 \frac{d}{dx}(\cos(x)) + \cos(x) \frac{d}{dx}(2x^2) = 2x^2 (-\sin(x)) + \cos(x) (4x) = 4x \cos(x) - 2x^2 \sin(x). \]

2. Para el segundo término \( -3x^3 \cot(x) \): \[ \frac{d}{dx}(-3x^3 \cot(x)) = -3x^3 \frac{d}{dx}(\cot(x)) - \cot(x) \frac{d}{dx}(3x^3) = -3x^3 (-\csc^2(x)) - \cot(x) (9x^2) = 3x^3 \csc^2(x) - 9x^2 \cot(x). \]

Sumamos las derivadas de ambos términos: \[ f'(x) = (4x \cos(x) - 2x^2 \sin(x)) + (3x^3 \csc^2(x) - 9x^2 \cot(x)). \] Por lo tanto, la derivada completa es: \[ f'(x) = 4x \cos(x) - 2x^2 \sin(x) + 3x^3 \csc^2(x) - 9x^2 \cot(x). \]

La derivada de la función es \[ \boxed{f'(x) = 4x \cos(x) - 2x^2 \sin(x) + 3x^3 \csc^2(x) - 9x^2 \cot(x)}. \]