Questions: 22. Determinați numerele naturale a, b, c, știind că: a) sunt direct proporționale cu numerele 3,5 , respectiv 8 și 2a-3b+6c=117; b) sunt direct proporționale cu numerele 5,7 , respectiv 9 şi 3a+5b-4c=84; c) sunt direct proporționale cu numerele 5,8 , respectiv 9 și 4a-5b+6c=136 d) sunt direct proporționale cu numerele 5,6 , respectiv 9 şi 8a-5b+2c=112. 23. Determinați numerele naturale x, y, z, ştiind că: a) sunt invers proporționale cu numerele 5,6, respectiv 10 şi 5x+4y-8z=52 b) sunt invers proporționale cu numerele 2,3 , respectiv 8 şi 2x+3y-9z=420 c) sunt invers proporționale cu numerele 2,3 , respectiv 4 şi 4x+5y-8z=240 d) sunt invers proporționale cu numerele 6,8 , respectiv 16 şi 3x+5y-11z= e) sunt invers proporționale cu numerele 0.2,0.125, respectiv 3 şi 2x-y+3z f) sunt invers proporționale cu numerele 6,8 , respectiv 12 şi 8x-9y+7z=38

22. Determinați numerele naturale a, b, c, știind că:
a) sunt direct proporționale cu numerele 3,5 , respectiv 8 și 2a-3b+6c=117;
b) sunt direct proporționale cu numerele 5,7 , respectiv 9 şi 3a+5b-4c=84;
c) sunt direct proporționale cu numerele 5,8 , respectiv 9 și 4a-5b+6c=136
d) sunt direct proporționale cu numerele 5,6 , respectiv 9 şi 8a-5b+2c=112.
23. Determinați numerele naturale x, y, z, ştiind că:
a) sunt invers proporționale cu numerele 5,6, respectiv 10 şi 5x+4y-8z=52
b) sunt invers proporționale cu numerele 2,3 , respectiv 8 şi 2x+3y-9z=420
c) sunt invers proporționale cu numerele 2,3 , respectiv 4 şi 4x+5y-8z=240
d) sunt invers proporționale cu numerele 6,8 , respectiv 16 şi 3x+5y-11z=
e) sunt invers proporționale cu numerele 0.2,0.125, respectiv 3 şi 2x-y+3z
f) sunt invers proporționale cu numerele 6,8 , respectiv 12 şi 8x-9y+7z=38

Transcript text: 22. Determinați numerele naturale $a, b, c$, știind că: a) sunt direct proporționale cu numerele 3,5 , respectiv 8 și $2 a-3 b+6 c=117$; b) sunt direct proporționale cu numerele 5,7 , respectiv 9 şi $3 a+5 b-4 c=84$; c) sunt direct proporționale cu numerele 5,8 , respectiv 9 și $4 a-5 b+6 c=136$ d) sunt direct proporționale cu numerele 5,6 , respectiv 9 şi $8 a-5 b+2 c=112$. 23. Determinați numerele naturale $x, y, z$, ştiind că: a) sunt invers proporționale cu numerele 5,6, respectiv 10 şi $5 x+4 y-8 z=52$ b) sunt invers proporționale cu numerele 2,3 , respectiv 8 şi $2 x+3 y-9 z=420$ c) sunt invers proporționale cu numerele 2,3 , respectiv 4 şi $4 x+5 y-8 z=240$ d) sunt invers proporționale cu numerele 6,8 , respectiv 16 şi $3 x+5 y-11 z=$ e) sunt invers proporționale cu numerele $0,2,0,125$, respectiv 3 şi $2 x-y+3 z$ f) sunt invers proporționale cu numerele 6,8 , respectiv 12 şi $8 x-9 y+7 z=38$

Solution

Solution Steps

Solution Approach

Question 22

a) The numbers $a, b, c$ are directly proportional to 3, 5, and 8 respectively. This means $a = 3k$, $b = 5k$, and $c = 8k$ for some constant $k$. Substitute these into the equation $2a - 3b + 6c = 117$ and solve for $k$. Then, find $a, b, c$.

b) The numbers $a, b, c$ are directly proportional to 5, 7, and 9 respectively. This means $a = 5k$, $b = 7k$, and $c = 9k$ for some constant $k$. Substitute these into the equation $3a + 5b - 4c = 84$ and solve for $k$. Then, find $a, b, c$.

c) The numbers $a, b, c$ are directly proportional to 5, 8, and 9 respectively. This means $a = 5k$, $b = 8k$, and $c = 9k$ for some constant $k$. Substitute these into the equation $4a - 5b + 6c = 136$ and solve for $k$. Then, find $a, b, c$.

Step 1: Understanding the Problem

We need to determine the natural numbers $a, b, c$ that are directly proportional to given sets of numbers and satisfy given linear equations. We will solve the first three sub-questions of the first problem.

Step 2: Setting Up Proportional Relationships

For each sub-question, we will set up the proportional relationships:

$a = k_1 \cdot 3$
$b = k_1 \cdot 5$
$c = k_1 \cdot 8$

where $k_1$ is a constant of proportionality.

Step 3: Solving the First Equation

Given: \[2a - 3b + 6c = 117\]

Substitute the proportional relationships: \[2(3k_1) - 3(5k_1) + 6(8k_1) = 117\] \[6k_1 - 15k_1 + 48k_1 = 117\] \[39k_1 = 117\] \[k_1 = \frac{117}{39} = 3\]

Step 4: Finding $a, b, c$ for the First Equation

Using $k_1 = 3$: \[a = 3 \cdot 3 = 9\] \[b = 3 \cdot 5 = 15\] \[c = 3 \cdot 8 = 24\]

Step 5: Setting Up Proportional Relationships for the Second Equation

For the second sub-question:

$a = k_2 \cdot 5$
$b = k_2 \cdot 7$
$c = k_2 \cdot 9$

Step 6: Solving the Second Equation

Given: \[3a + 5b - 4c = 84\]

Substitute the proportional relationships: \[3(5k_2) + 5(7k_2) - 4(9k_2) = 84\] \[15k_2 + 35k_2 - 36k_2 = 84\] \[14k_2 = 84\] \[k_2 = \frac{84}{14} = 6\]

Step 7: Finding $a, b, c$ for the Second Equation

Using $k_2 = 6$: \[a = 6 \cdot 5 = 30\] \[b = 6 \cdot 7 = 42\] \[c = 6 \cdot 9 = 54\]

Step 8: Setting Up Proportional Relationships for the Third Equation

For the third sub-question:

$a = k_3 \cdot 5$
$b = k_3 \cdot 8$
$c = k_3 \cdot 9$

Step 9: Solving the Third Equation

Given: \[4a - 5b + 6c = 136\]

Substitute the proportional relationships: \[4(5k_3) - 5(8k_3) + 6(9k_3) = 136\] \[20k_3 - 40k_3 + 54k_3 = 136\] \[34k_3 = 136\] \[k_3 = \frac{136}{34} = 4\]

Step 10: Finding $a, b, c$ for the Third Equation

Using $k_3 = 4$: \[a = 4 \cdot 5 = 20\] \[b = 4 \cdot 8 = 32\] \[c = 4 \cdot 9 = 36\]

Final Answer

\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{For the first equation:} \\ &a = 9, \quad b = 15, \quad c = 24 \\ &\text{For the second equation:} \\ &a = 30, \quad b = 42, \quad c = 54 \\ &\text{For the third equation:} \\ &a = 20, \quad b = 32, \quad c = 36 \\ \end{aligned} } \]

Was this solution helpful?

Unhelpful

Helpful

Questions asked by other users

< Previous Next >

Thank you for your feedback.

Copied!