Questions: Um cientista iniciou um estudo sobre a reprodução de coelhos. Para isso, começou com uma colônia composta por 12 indivíduos desta espécie, e observou que o número de coelhos nesta criação variava de acordo com a expressão 12 * 5^(2t+1), em que t representa o tempo, em anos, passados desde o início dos estudos. Desta forma, o tempo necessário para que esta colônia passe a ter 7500 coelhos é: 1 ano e meio 3 anos e meio 3 anos 4 anos 4 anos e meio

Um cientista iniciou um estudo sobre a reprodução de coelhos. Para isso, começou com uma colônia composta por 12 indivíduos desta espécie, e observou que o número de coelhos nesta criação variava de acordo com a expressão 12 * 5^(2t+1), em que t representa o tempo, em anos, passados desde o início dos estudos.
Desta forma, o tempo necessário para que esta colônia passe a ter 7500 coelhos é:
1 ano e meio
3 anos e meio
3 anos
4 anos
4 anos e meio

Transcript text: Um cientista iniciou um estudo sobre a reprodução de coelhos. Para isso, começou com uma colônia composta por 12 indivíduos desta espécie, e observou que o número de coelhos nesta criação variava de acordo com a expressão $12 \cdot 5^{2 t+1}$, em que $t$ representa o tempo, em anos, passados desde o início dos estudos. Desta forma, o tempo necessário para que esta colônia passe a ter 7500 coelhos é: 1 ano e meio 3 anos e meio 3 anos 4 anos 4 anos e meio

Solution

Solution Steps

To find the time $ t $ necessary for the colony to have 7500 rabbits, we need to solve the equation $ 12 \cdot 5^{2t+1} = 7500 $. This involves isolating $ t $ by first dividing both sides by 12, then taking the logarithm to solve for $ t $.

Step 1: Set Up the Equation

We start with the equation that models the rabbit population over time: \[ 12 \cdot 5^{2t+1} = 7500 \]

Step 2: Isolate the Exponential Term

Divide both sides of the equation by 12 to isolate the exponential term: \[ 5^{2t+1} = \frac{7500}{12} \]

Step 3: Simplify the Right Side

Calculate the division on the right side: \[ 5^{2t+1} = 625 \]

Step 4: Solve for the Exponent

To solve for $ t $, take the logarithm base 5 of both sides: \[ 2t+1 = \log_5(625) \]

Step 5: Calculate the Logarithm

Since $ 625 = 5^4 $, we have: \[ 2t+1 = 4 \]

Step 6: Solve for $ t $

Subtract 1 from both sides and then divide by 2 to solve for $ t $: \[ 2t = 3 \] \[ t = \frac{3}{2} = 1.5 \]