Questions: El movimiento de una partícula a través de cierto medio es tal que en cada segundo recorre una distancia que es 2/3 de la distancia que recorrió en el segundo anterior. Si durante el primer segundo recorre 8/3 metros (m), ¿qué distancia recorrerá antes de llegar al reposo?

La partícula recorre una distancia que es \(\frac{2}{3}\) de la distancia recorrida en el segundo anterior. Esto indica que la distancia recorrida por la partícula en cada segundo forma una progresión geométrica decreciente.

La distancia recorrida en el primer segundo es \(\frac{8}{3}\) metros. La razón común de la progresión geométrica es \(\frac{2}{3}\). Por lo tanto, la distancia recorrida en el segundo \(n\) es:

\[ d_n = \left(\frac{8}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \]

La distancia total recorrida antes de llegar al reposo es la suma infinita de la serie geométrica. La fórmula para la suma de una serie geométrica infinita es:

\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

donde \(a\) es el primer término de la serie y \(r\) es la razón común. Sustituyendo los valores:

\[ S = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{1}{3}} = 8 \]

La distancia total que recorrerá la partícula antes de llegar al reposo es \(\boxed{8 \text{ m}}\).