Questions: Para el problema de valor inicial (P.V.I.): y'' + 5 y = 9 e^(-2 x) y(0) = 2, y'(0) = -1 a) Encuentre el conjunto fundamental de soluciones asociado a la ecuación diferencial homogénea (y'' + 5 y = 0). b) Escriba la solución general de la ecuación no homogénea sabiendo que yp = e^(-2 x) es una solución particular de la ecuación diferencial (y'' + 5 y = 9 e^(-2 x)). c) Encuentre la solución del P.V.I.

Para el problema de valor inicial (P.V.I.):

y'' + 5 y = 9 e^(-2 x)
y(0) = 2, y'(0) = -1

a) Encuentre el conjunto fundamental de soluciones asociado a la ecuación diferencial homogénea (y'' + 5 y = 0).
b) Escriba la solución general de la ecuación no homogénea sabiendo que yp = e^(-2 x) es una solución particular de la ecuación diferencial (y'' + 5 y = 9 e^(-2 x)).
c) Encuentre la solución del P.V.I.

Transcript text: Para el problema de valor inicial (P.V.I.): \[ \left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+5 y=9 e^{-2 x} \\ y(0)=2, y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right. \] a) Encuentre el conjunto fundamental de soluciones asociado a la ecuación diferencial homogénea $\left(y^{\prime \prime}+5 y=0\right)$. b) Escriba la solución general de la ecuación no homogénea sabiendo que $y_{p}=e^{-2 x}$ es una solución particular de la ecuación diferencial $\left(y^{\prime \prime}+5 y=9 e^{-2 x}\right)$. c) Encuentre la solución del P.V.I. Justifica tus procedimientos con los contenidos vistos en el curso y no omitas cálculos en tu respuesta.

Solution

Solution Approach

a) To find the fundamental set of solutions for the homogeneous differential equation $ y'' + 5y = 0 $, we solve the characteristic equation associated with it.

b) The general solution of the non-homogeneous differential equation $ y'' + 5y = 9e^{-2x} $ is the sum of the general solution of the homogeneous equation and a particular solution $ y_p = e^{-2x} $.

c) To find the solution to the initial value problem (IVP), we use the initial conditions $ y(0) = 2 $ and $ y'(0) = -1 $ to determine the constants in the general solution.

Paso 1: Encontrar el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea

Para la ecuación diferencial homogénea $ y'' + 5y = 0 $, resolvemos la ecuación característica asociada: \[ r^2 + 5 = 0 \implies r = \pm i\sqrt{5} \] Las soluciones de la ecuación homogénea son: \[ y_h(x) = C_1 \sin(\sqrt{5}x) + C_2 \cos(\sqrt{5}x) \]

Paso 2: Escribir la solución general de la ecuación no homogénea

La solución general de la ecuación no homogénea $ y'' + 5y = 9e^{-2x} $ es la suma de la solución general de la ecuación homogénea y una solución particular $ y_p = e^{-2x} $: \[ y(x) = C_1 \sin(\sqrt{5}x) + C_2 \cos(\sqrt{5}x) + e^{-2x} \]

Paso 3: Encontrar la solución del P.V.I.

Usamos las condiciones iniciales $ y(0) = 2 $ y $ y'(0) = -1 $ para determinar las constantes $ C_1 $ y $ C_2 $.

Aplicando $ y(0) = 2 $: \[ y(0) = C_1 \sin(0) + C_2 \cos(0) + e^{0} = 2 \implies C_2 + 1 = 2 \implies C_2 = 1 \]
Aplicando $ y'(0) = -1 $: \[ y'(x) = C_1 \sqrt{5} \cos(\sqrt{5}x) - C_2 \sqrt{5} \sin(\sqrt{5}x) - 2e^{-2x} \] \[ y'(0) = C_1 \sqrt{5} \cos(0) - C_2 \sqrt{5} \sin(0) - 2e^{0} = -1 \implies C_1 \sqrt{5} - 2 = -1 \implies C_1 \sqrt{5} = 1 \implies C_1 = \frac{1}{\sqrt{5}} \]

Por lo tanto, las constantes son $ C_1 = \frac{\sqrt{5}}{5} $ y $ C_2 = 1 $.

La solución particular del P.V.I. es: \[ y(x) = \frac{\sqrt{5}}{5} \sin(\sqrt{5}x) + \cos(\sqrt{5}x) + e^{-2x} \]

Respuesta Final

\[ \boxed{y(x) = \frac{\sqrt{5}}{5} \sin(\sqrt{5}x) + \cos(\sqrt{5}x) + e^{-2x}} \]

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