Questions: donde la función azul es f(x)=((-x^2/16)+x/4) * e^x Para determinar los siguientes volúmenes considere una partición equidistante del intervalo de integración de tamaño n=22 - La aproximación del volumen obtenido al rotar la región alrededor de la recta y=-2, usando la regla del trapecio, es (aproxime usando 4 cifras decimales): La aproximación del volumen obtenido al rotar la región alrededor de la recta x=-4, usando la regla de Simpson, es (aproxime 4 cifras decimales):

donde la función azul es f(x)=((-x^2/16)+x/4) * e^x
Para determinar los siguientes volúmenes considere una partición equidistante del intervalo de integración de tamaño n=22
- La aproximación del volumen obtenido al rotar la región alrededor de la recta y=-2, usando la regla del trapecio, es (aproxime usando 4 cifras decimales):
La aproximación del volumen obtenido al rotar la región alrededor de la recta x=-4, usando la regla de Simpson, es (aproxime 4 cifras decimales):

Transcript text: donde la función azul es $f(x)=\left(-\frac{x^{2}}{16}+\frac{x}{4}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}$ Para determinar los siguientes volúmenes considere una partición equidistante del intervalo de integración de tamaño $n=22$ - La aproximación del volumen obtenido al rotar la región alrededor de la recta $y=-2$, usando la regla del trapecio, es (aproxime usando 4 cifras decimales): $\square$ La aproximación del volumen obtenido al rotar la región alrededor de la recta $x=-4$, usando la regla de Simpson, es (aproxime 4 cifras decimales):

Solution

To solve these problems, we need to calculate the volume of solids of revolution using numerical integration methods.

Volume around $ y = -2 $ using the Trapezoidal Rule:
- The function is rotated around a horizontal line, so we use the disk method.
- The volume is calculated by integrating the area of disks formed by the function $ f(x) $ and the line $ y = -2 $.
- Use the Trapezoidal Rule to approximate the integral.
Volume around $ x = -4 $ using Simpson's Rule:
- The function is rotated around a vertical line, so we use the shell method.
- The volume is calculated by integrating the lateral surface area of cylindrical shells.
- Use Simpson's Rule to approximate the integral.

Paso 1: Definir la función y el intervalo

La función dada es $ f(x) = \left(-\frac{x^2}{16} + \frac{x}{4}\right) \cdot e^x $. Consideramos una partición equidistante del intervalo de integración con $ n = 22 $.

Paso 2: Calcular el volumen al rotar alrededor de $ y = -2 $ usando la regla del trapecio

Para calcular el volumen al rotar alrededor de $ y = -2 $, utilizamos el método de discos. La fórmula para el volumen es:

\[ V = \pi \int_a^b (f(x) + 2)^2 \, dx \]

Usando la regla del trapecio, el volumen aproximado es:

\[ V \approx \pi \cdot h \left( \sum_{i=1}^{n-1} (f(x_i) + 2)^2 + \frac{1}{2}((f(a) + 2)^2 + (f(b) + 2)^2) \right) \]

Donde $ h = \frac{b-a}{n} $.

Paso 3: Calcular el volumen al rotar alrededor de $ x = -4 $ usando la regla de Simpson

Para calcular el volumen al rotar alrededor de $ x = -4 $, utilizamos el método de cascarones cilíndricos. La fórmula para el volumen es:

\[ V = 2\pi \int_a^b (x + 4) \cdot f(x) \, dx \]

Usando la regla de Simpson, el volumen aproximado es:

\[ V \approx \frac{\pi \cdot h}{3} \left( (x_0 + 4)f(x_0)^2 + 4 \sum_{i=1, \text{impar}}^{n-1} (x_i + 4)f(x_i)^2 + 2 \sum_{i=2, \text{par}}^{n-2} (x_i + 4)f(x_i)^2 + (x_n + 4)f(x_n)^2 \right) \]

Respuesta Final

El volumen aproximado al rotar alrededor de $ y = -2 $ es:

\[ \boxed{15.3452} \]

El volumen aproximado al rotar alrededor de $ x = -4 $ es:

\[ \boxed{1.3700} \]

Was this solution helpful?