Questions: ¿Cuánto debe valer k para que las rectas L₁: x-(k+1) y+2=0 y L₂: 2 x-(k-1) y+1=0 sean paralelas?

Transcript text: ¿Cuánto debe valer $\mathbf{k}$ para que las rectus $L_{1}: x-(k+1) y+2=0$ y $L_{2}: 2 x-(k-1) y+1=0$ sean paralelas?

Solution

To determine the value of $ k $ for which the lines $ L_1: x - (k+1)y + 2 = 0 $ and $ L_2: 2x - (k-1)y + 1 = 0 $ are parallel, we need to ensure that their slopes are equal. The slope of a line in the form $ ax + by + c = 0 $ is given by $ -\frac{a}{b} $. Therefore, we will set the slopes of both lines equal to each other and solve for $ k $.

Paso 1: Determinación de las pendientes

Para que las rectas $ L_1: x - (k+1)y + 2 = 0 $ y $ L_2: 2x - (k-1)y + 1 = 0 $ sean paralelas, sus pendientes deben ser iguales. La pendiente de $ L_1 $ se calcula como:

\[ m_1 = -\frac{1}{k + 1} \]

Y la pendiente de $ L_2 $ es:

\[ m_2 = -\frac{2}{k - 1} \]

Paso 2: Igualación de las pendientes

Igualamos las pendientes:

\[ -\frac{1}{k + 1} = -\frac{2}{k - 1} \]

Eliminamos el signo negativo y multiplicamos ambos lados por $ (k + 1)(k - 1) $ para despejar la fracción:

\[ (k - 1) = 2(k + 1) \]

Paso 3: Resolución de la ecuación

Desarrollamos la ecuación:

\[ k - 1 = 2k + 2 \]

Reorganizamos para encontrar $ k $: