La figura muestra un círculo con un ángulo \( \theta \). Se nos da que el arco subtendido por el ángulo \( \theta \) tiene una longitud de 22.5 unidades, mientras que la circunferencia completa del círculo es 22.5 + 5 = 27.5 unidades.
La medida de un ángulo en radianes se define como la razón entre la longitud del arco que subtiende y el radio del círculo. Si llamamos \(s\) a la longitud del arco, \(r\) al radio y \(\theta\) al ángulo en radianes, tenemos \(\theta = \frac{s}{r}\).
La circunferencia de un círculo se calcula como \(C = 2\pi r\). Por lo tanto, podemos expresar el radio en términos de la circunferencia como \(r = \frac{C}{2\pi}\). Sustituyendo esto en la ecuación para \(\theta\), obtenemos \(\theta = \frac{s}{\frac{C}{2\pi}} = \frac{2\pi s}{C}\).
En este caso, la longitud del arco \(s\) es 22.5 y la circunferencia \(C\) es 27.5. Sustituyendo estos valores en la fórmula del paso anterior, obtenemos:
\(\theta = \frac{2\pi (22.5)}{27.5} = \frac{45\pi}{27.5} = \frac{45\pi}{55/2} = \frac{90\pi}{55} = \frac{18\pi}{11}\) radianes.
Sin embargo, si la circunferencia total es 22.5 (es decir, solo el arco circular exterior), entonces \(s=22.5\) y \(C=22.5\). Entonces \(\theta = \frac{2\pi (22.5)}{22.5} = 2\pi\) radianes.
Como 22.5 es la longitud del arco y 5 es la longitud del arco restante, la longitud de la circunferencia es 27.5. La fracción de la circunferencia subtendida por el ángulo es \(\frac{22.5}{27.5} = \frac{45/2}{55/2} = \frac{45}{55} = \frac{9}{11}\). Multiplicando por \(2\pi\), obtenemos \(\frac{18\pi}{11}\).
\\(\boxed{\frac{18\pi}{11}}\\) radianes.
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