Questions: Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. y=sqrt(1+x^3), em (2,3)

Solution Steps

To find the equation of the tangent line to the curve at a given point, we need to:

1. Compute the derivative of the function to find the slope of the tangent line at the given point.
2. Evaluate the derivative at the given x-coordinate to get the slope of the tangent line.
3. Use the point-slope form of a line equation, \( y - y_1 = m(x - x_1) \), where \( m \) is the slope and \((x_1, y_1)\) is the given point, to find the equation of the tangent line.

A função dada é \( y = \sqrt{1 + x^3} \). Para encontrar a reta tangente, primeiro calculamos a derivada da função:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{2\sqrt{1 + x^3}} \]

Precisamos avaliar a derivada no ponto \( x = 2 \):

\[ \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=2} = \frac{3(2^2)}{2\sqrt{1 + 2^3}} = \frac{12}{2\sqrt{9}} = \frac{12}{6} = 2 \]

Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto \( (2, 3) \) é \( m = 2 \).

Usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é dada por:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Substituindo \( m = 2 \), \( x_1 = 2 \) e \( y_1 = 3 \):

\[ y - 3 = 2(x - 2) \]

Simplificando, obtemos:

\[ y - 3 = 2x - 4 \implies y = 2x - 1 \]

Final Answer