Questions: Pregunta 2 25 pts Si las raíces de una ecuación característica cúbica son exactamente m1=2 de multiplicidad 2, y m3=-3. Determina ¿cuál es la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes a la que corresponde? y'''-y''-8y'+12y=0 y'''-3y''+2y'+2y=0 y'''+y''+8y'-12y=0 y'''+2y''+2y'-3y=0

Pregunta 2
25 pts

Si las raíces de una ecuación característica cúbica son exactamente m1=2 de multiplicidad 2, y m3=-3. Determina ¿cuál es la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes a la que corresponde?

y'''-y''-8y'+12y=0

y'''-3y''+2y'+2y=0

y'''+y''+8y'-12y=0

y'''+2y''+2y'-3y=0

Transcript text: Pregunta 2 25 pts Si las raíces de una ceuación característica cúbica son exactamente $m_{1}=2$ de multiplicidad $2, y$ $m_{3}=-3$. Determina ¿cuál es la ceuación difercncial lincal homogénea con cocficientes constantes a la que corresponde? $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+12 y=0$ $y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}-12 y=0$ $y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0$

Solution

To determine the correct differential equation, we need to construct the characteristic polynomial from the given roots and then match it with the provided options.

The roots given are $ m_1 = 2 $ with multiplicity 2, and $ m_3 = -3 $.
The characteristic polynomial can be written as $ (m - 2)^2 (m + 3) $.
Expand this polynomial to get the characteristic equation.
Compare the expanded polynomial with the characteristic polynomials of the given differential equations to find the match.

Paso 1: Identificar las raíces y sus multiplicidades

Las raíces dadas son $ m_1 = 2 $ con multiplicidad 2, y $ m_3 = -3 $.

Paso 2: Construir el polinomio característico

El polinomio característico se puede escribir como: \[ (m - 2)^2 (m + 3) \]

Paso 3: Expandir el polinomio característico

Expandimos el polinomio: \[ (m - 2)^2 (m + 3) = (m^2 - 4m + 4)(m + 3) \] \[ = m^3 + 3m^2 - 4m^2 - 12m + 4m + 12 \] \[ = m^3 - m^2 - 8m + 12 \]

Paso 4: Comparar con las opciones dadas

Comparamos el polinomio característico $ m^3 - m^2 - 8m + 12 $ con los polinomios característicos de las ecuaciones diferenciales dadas:

$ y''' - y'' - 8y' + 12y = 0 $ tiene el polinomio característico $ m^3 - m^2 - 8m + 12 $
$ y''' - 3y'' + 2y' + 2y = 0 $ tiene el polinomio característico $ m^3 - 3m^2 + 2m + 2 $
$ y''' + y'' + 8y' - 12y = 0 $ tiene el polinomio característico $ m^3 + m^2 + 8m - 12 $
$ y''' + 2y'' + 2y' - 3y = 0 $ tiene el polinomio característico $ m^3 + 2m^2 + 2m - 3 $

La ecuación diferencial que corresponde al polinomio característico $ m^3 - m^2 - 8m + 12 $ es: \[ y''' - y'' - 8y' + 12y = 0 \]

Respuesta Final

\[ \boxed{y''' - y'' - 8y' + 12y = 0} \]

Was this solution helpful?