Questions: 1. Determine cuál de los siguientes subconjuntos son subespacios del espacio vectorial indicado a) S=(a b, c d) / a+b-c=0 y 2b-c+d=0, V=M2(IR) b) S=(x, y, z) / 3x-y+z=0, V=IR^3

Se verifica si el vector cero \( (0, 0, 0) \) pertenece al conjunto \( S \). Para ello, se evalúa la ecuación \( 3x - y + z = 0 \) con \( x = 0 \), \( y = 0 \) y \( z = 0 \): \[ 3(0) - 0 + 0 = 0 \] Dado que la ecuación se cumple, el vector cero está en \( S \).

Se eligen dos vectores \( v_1 = (1, 1, 2) \) y \( v_2 = (2, 2, 4) \) y se verifica si su suma \( v_1 + v_2 = (3, 3, 6) \) pertenece al conjunto \( S \). Evaluamos: \[ 3(3) - 3 + 6 = 9 - 3 + 6 = 12 \neq 0 \] Por lo tanto, el conjunto no es cerrado bajo la suma.

Se toma un vector \( v = (1, 1, 2) \) y un escalar \( k = 3 \). Se verifica si \( k \cdot v = (3, 3, 6) \) pertenece al conjunto \( S \). Evaluamos: \[ 3(3) - 3 + 6 = 9 - 3 + 6 = 12 \neq 0 \] Esto indica que el conjunto no es cerrado bajo la multiplicación por un escalar.

El conjunto \( S = \{(x, y, z) / 3x - y + z = 0\} \) contiene el vector cero, pero no es cerrado bajo la suma de vectores ni bajo la multiplicación por un escalar. Por lo tanto, \( S \) no es un subespacio del espacio vectorial \( V = \mathbb{R}^3 \).

a) No es un subespacio.
b) No es un subespacio.