Questions: Pregunta 1 Si y=x^2+ln(2x), demuestre que: x^3 * y''' + x^2 * y'' - x * y' = 0

Solution Steps

1. Compute the first, second, and third derivatives of the function \( y = x^2 + \ln(2x) \).
2. Substitute these derivatives into the given equation \( x^3 \cdot y''' + x^2 \cdot y'' - x \cdot y' = 0 \).
3. Simplify the expression to verify that the equation holds true.

Primero, derivamos la función \( y = x^2 + \ln(2x) \) con respecto a \( x \).

\[ y = x^2 + \ln(2x) \]

La primera derivada \( y' \) es:

\[ y' = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(\ln(2x)) \]

\[ y' = 2x + \frac{1}{2x} \cdot 2 = 2x + \frac{1}{x} \]

Ahora derivamos \( y' \) para obtener la segunda derivada \( y'' \).

\[ y' = 2x + \frac{1}{x} \]

\[ y'' = \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) \]

\[ y'' = 2 - \frac{1}{x^2} \]

Derivamos \( y'' \) para obtener la tercera derivada \( y''' \).

\[ y'' = 2 - \frac{1}{x^2} \]

\[ y''' = \frac{d}{dx}(2) - \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) \]

\[ y''' = 0 + \frac{2}{x^3} = \frac{2}{x^3} \]

Sustituimos \( y''', y'' \) y \( y' \) en la ecuación \( x^3 \cdot y''' + x^2 \cdot y'' - x \cdot y' = 0 \).

\[ x^3 \cdot y''' + x^2 \cdot y'' - x \cdot y' = 0 \]

\[ x^3 \cdot \frac{2}{x^3} + x^2 \cdot \left(2 - \frac{1}{x^2}\right) - x \cdot \left(2x + \frac{1}{x}\right) = 0 \]

Simplificamos cada término de la ecuación.

\[ 2 + x^2 \cdot 2 - x^2 \cdot \frac{1}{x^2} - 2x^2 - 1 = 0 \]

\[ 2 + 2x^2 - 1 - 2x^2 - 1 = 0 \]

\[ 2 - 1 - 1 = 0 \]

\[ 0 = 0 \]

Final Answer