Questions: たかし君は物理基礎の授業で運動方程式を学習し、スキーで急斜面を滑った際にどの程度の速さが出るのか気になり、計算することにした。物体に十分な質量があり、短時間の運動かつ物体の速度が小さい運動であれば、空気抵抗を考えなくても実際の運動に近い結果が得られたことを思い出した。そこでスキーヤーを質量 m の質点（物体の大きさをもたない質量を持つた点），初速度を 0 m/s ，重力加速度 g=9.80 m/s^2 とし、雪上とスキー板の間にはたらく摩擦力は小さいだろうと考え斜面を摩擦のないなめらかな面とした、また空気抵抗も無視することにした。兵庫県にあるハチ高原スキー場の最大斜度は 30度 。急斜面の区間は短いので、その区間の高低差を 19.6 m とし、下図のようなモデルを考えた。運動方程式を立て，斜面を滑るスキーヤーの加速度の大きさを計算すると (a) m/s^2 となり、斜面の頂上から斜面を滑りきるまでにかかる時間と滑りきる直前の速さを計算すると、滑りきるまでにかかる時間かっ（b）秒、滑りきる直前の速さか (c) m/s となった。

Solution Steps

スキーヤーの質量を \( m \)、重力加速度を \( g = 9.80 \, \mathrm{m/s^2} \)、斜面の角度を \( \theta = 30^\circ \) とします。斜面に沿った方向の加速度 \( a \) を求めるために、運動方程式を立てます。

斜面に沿った方向の力の成分は、重力の斜面に沿った成分 \( mg \sin \theta \) です。摩擦力と空気抵抗は無視するので、運動方程式は次のようになります： \[ ma = mg \sin \theta \]

運動方程式を \( a \) について解きます： \[ a = g \sin \theta \] \[ a = 9.80 \sin 30^\circ \] \[ a = 9.80 \times 0.5 \] \[ a = 4.90 \, \mathrm{m/s^2} \]

斜面の高低差を \( h = 19.6 \, \mathrm{m} \) とし、斜面の長さ \( s \) を求めます。斜面の長さは次のように計算されます： \[ s = \frac{h}{\sin \theta} \] \[ s = \frac{19.6}{\sin 30^\circ} \] \[ s = \frac{19.6}{0.5} \] \[ s = 39.2 \, \mathrm{m} \]

初速度 \( v_0 = 0 \, \mathrm{m/s} \) で、加速度 \( a = 4.90 \, \mathrm{m/s^2} \) のもとで、斜面を滑りきるまでの時間 \( t \) を求めます。運動方程式は次のようになります： \[ s = \frac{1}{2} a t^2 \] \[ 39.2 = \frac{1}{2} \times 4.90 \times t^2 \] \[ 39.2 = 2.45 t^2 \] \[ t^2 = \frac{39.2}{2.45} \] \[ t^2 = 16 \] \[ t = 4 \, \mathrm{s} \]

斜面を滑りきる直前の速さ \( v \) を求めます。運動方程式は次のようになります： \[ v = v_0 + at \] \[ v = 0 + 4.90 \times 4 \] \[ v = 19.6 \, \mathrm{m/s} \]

Final Answer