Questions: Identificar la integral que representa la longitud de arco entre los puntos (1,1) y (2,16) de la curva y=x^4 A) S=integral from 1 to 2 of sqrt(1+4x^3) dx B) S=integral from 1 to 16 of sqrt(1+16x^6) dx C) S=integral from 1 to 16 of sqrt(1+4x^3) dx D) S=integral from 1 to 2 of sqrt(1+16x^6) dx

Identificar la integral que representa la longitud de arco entre los puntos (1,1) y (2,16) de la curva y=x^4
A) S=integral from 1 to 2 of sqrt(1+4x^3) dx
B) S=integral from 1 to 16 of sqrt(1+16x^6) dx
C) S=integral from 1 to 16 of sqrt(1+4x^3) dx
D) S=integral from 1 to 2 of sqrt(1+16x^6) dx

Transcript text: Identificar la integral que representa la longitud de arco entre los puntos $(1,1)$ y $(2,16)$ de la curva $y=x^{4}$ A) $S=\int_{1}^{2} \sqrt{1+4 x^{3}} d x$ B) $S=\int_{1}^{16} \sqrt{1+16 x^{6}} d x$ C) $S=\int_{1}^{16} \sqrt{1+4 x^{3}} d x$ D) $S=\int_{1}^{2} \sqrt{1+16 x^{6}} d x$

Solution

To find the arc length of the curve $ y = x^4 $ between the points $(1,1)$ and $(2,16)$, we use the arc length formula for a function $ y = f(x) $, which is given by:

\[ S = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \]

First, compute the derivative $\frac{dy}{dx}$ of the function $ y = x^4 $.
Substitute $\frac{dy}{dx}$ into the arc length formula.
Evaluate the integral from $ x = 1 $ to $ x = 2 $.

Paso 1: Derivar la función

Dada la función $ y = x^4 $, calculamos su derivada:

\[ \frac{dy}{dx} = 4x^3 \]

Paso 2: Sustituir en la fórmula de longitud de arco

La fórmula para la longitud de arco de una curva $ y = f(x) $ es:

\[ S = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \]

Sustituimos $\frac{dy}{dx} = 4x^3$ en la fórmula:

\[ S = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + (4x^3)^2} \, dx = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + 16x^6} \, dx \]

Paso 3: Evaluar la integral

La integral a evaluar es:

\[ S = \int_{1}^{2} \sqrt{16x^6 + 1} \, dx \]

El resultado de esta integral es una expresión que involucra funciones especiales, específicamente la función gamma y la función hipergeométrica. La solución exacta es:

\[ S = -\frac{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right) \cdot \text{hyper}\left(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right), \left(\frac{7}{6}\right), 16e^{i\pi}\right)}{6\Gamma\left(\frac{7}{6}\right)} + \frac{\Gamma\left(\frac{1}{6}\right) \cdot \text{hyper}\left(\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{6}\right), \left(\frac{7}{6}\right), 1024e^{i\pi}\right)}{3\Gamma\left(\frac{7}{6}\right)} \]

Respuesta Final

La integral que representa la longitud de arco entre los puntos $(1,1)$ y $(2,16)$ de la curva $ y = x^4 $ es:

\[ \boxed{D) \, S = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + 16x^6} \, dx} \]

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