To solve this problem, we need to determine the first payment of an arithmetic progression of payments. We know the total amount to be paid, the number of payments, and the remaining debt after a certain number of payments. We can use the formula for the sum of an arithmetic series to set up equations and solve for the first payment.
- Let the first payment be \( a \) and the common difference be \( d \).
- The sum of the first 48 payments is given by the formula for the sum of an arithmetic series: \( S_n = \frac{n}{2} \times (2a + (n-1)d) \).
- The sum of the first 38 payments can be calculated similarly.
- Use the information about the remaining debt to set up an equation: Total sum of 48 payments minus the sum of the first 38 payments equals the remaining debt.
- Solve the equations to find the value of the first payment \( a \).
Se tiene que el total a pagar es \( \$ 400800 \) y la deuda restante después de 38 pagos es \( \$ 102500 \). Definimos el primer pago como \( a \) y la diferencia común como \( d \). La suma de los 48 pagos se expresa como:
\[
S_{total} = \frac{48}{2} \cdot (2a + 47d) = 24(2a + 47d) = 48a + 1128d
\]
La suma de los primeros 38 pagos es:
\[
S_{made} = \frac{38}{2} \cdot (2a + 37d) = 19(2a + 37d) = 38a + 703d
\]
La relación entre el total a pagar, la suma de los pagos realizados y la deuda restante se expresa como:
\[
S_{total} - S_{made} = 102500
\]
Sustituyendo las expresiones de \( S_{total} \) y \( S_{made} \):
\[
(48a + 1128d) - (38a + 703d) = 102500
\]
Simplificando la ecuación:
\[
10a + 425d = 102500
\]
Despejamos \( a \) en términos de \( d \):
\[
10a = 102500 - 425d
\]
\[
a = 10250 - 42.5d
\]
El valor del primer pago \( a \) depende de la diferencia común \( d \). Sin embargo, no se proporciona información adicional para determinar \( d \) de manera única. Por lo tanto, el primer pago se expresa en función de \( d \).
El valor del primer pago es:
\[
\boxed{a = 10250 - 42.5d}
\]
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