Questions: 図のように，地表からの高さが地球の半径と同じ R である円軌道を回る人工衛星がある。地表での重力加速度の大きさを g とし，地球の自転の影響は無視する。 （1）人工衛星の高さでの重力加速度の大きさを g' とする。 g' は g の何倍か。 （2）人工衛星の速さ v はいくらか。 （3）人工衛星の回転の周期 T はいくらか。

Solution Steps

The distance from the center of the Earth to the satellite is 2R (R + R). The gravitational force is inversely proportional to the square of the distance. Therefore, g' = g * (R/2R)^2 = g/4.

The gravitational force acting on the satellite provides the centripetal force for its circular motion. Therefore, m_g' = m_v^2/(2R). Substituting g' = g/4, we get v^2 = gR/2. So, v = √(gR/2).

The period T is the time taken for the satellite to complete one orbit. The distance of one orbit is 2π(2R) = 4πR. Since v = distance/time, T = 4πR/v. Substituting v = √(gR/2), we get T = 4πR / √(gR/2) = 4π√(2R/g).

Final Answer