Questions: Sea u=-5i+2j y sea v=-4i-4j. Descomponer u en dos vectores u1 y u2, donde u1 es paralelo a v y u2 es ortogonal a v. Escribir sus respuestas en la forma a i+b j. u1=□ u2=□

Primero, calculamos el producto punto de los vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\): \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (-5)(-4) + (2)(-4) = 20 - 8 = 12 \]

Luego, calculamos el producto punto de \(\mathbf{v}\) consigo mismo: \[ \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = (-4)(-4) + (-4)(-4) = 16 + 16 = 32 \]

Usamos los productos punto para encontrar el escalar que multiplica a \(\mathbf{v}\) para obtener \(\mathbf{u}_{1}\): \[ \text{escalar} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} \]

Calculamos \(\mathbf{u}_{1}\) como el producto del escalar y \(\mathbf{v}\): \[ \mathbf{u}_{1} = \frac{3}{8} \mathbf{v} = \frac{3}{8} \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.5 \\ -1.5 \end{pmatrix} \]

Finalmente, calculamos \(\mathbf{u}_{2}\) restando \(\mathbf{u}_{1}\) de \(\mathbf{u}\): \[ \mathbf{u}_{2} = \mathbf{u} - \mathbf{u}_{1} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1.5 \\ -1.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3.5 \\ 3.5 \end{pmatrix} \]

Los vectores descompuestos son: \[ \mathbf{u}_{1} = -1.5 \mathbf{i} - 1.5 \mathbf{j} \] \[ \mathbf{u}_{2} = -3.5 \mathbf{i} + 3.5 \mathbf{j} \]

Por lo tanto, la respuesta final es: \[ \boxed{\mathbf{u}_{1} = -1.5 \mathbf{i} - 1.5 \mathbf{j}, \quad \mathbf{u}_{2} = -3.5 \mathbf{i} + 3.5 \mathbf{j}} \]