Questions: Encuentre la derivada mixta de la siguiente función f(x, y)=sqrt(2 x^2+y^2) fx y=-2 x y(2 x^2+y^2)^-3 / 2 fx y=-4 x y(2 x^2+y^2)^-1 / 2 A B fx y=-4 x^2(2 x^2+y^2)^-3 / 2

Transcript text: Encuentre la derivada mixta de la siguiente función \[ \begin{array}{l} f(x, y)=\sqrt{2 x^{2}+y^{2}} \\ f_{x y}=-2 x y\left(2 x^{2}+y^{2}\right)^{-3 / 2} \quad f_{x y}=-4 x y\left(2 x^{2}+y^{2}\right)^{-1 / 2} \end{array} \] A B \[ f_{x y}=-4 x^{2}\left(2 x^{2}+y^{2}\right)^{-3 / 2} \]

Solution

Solution Steps

To find the mixed partial derivative \( f_{xy} \) of the function \( f(x, y) = \sqrt{2x^2 + y^2} \), we first need to compute the partial derivative of \( f \) with respect to \( x \), and then take the partial derivative of the resulting expression with respect to \( y \).

Compute the partial derivative of \( f \) with respect to \( x \), denoted as \( f_x \).
Compute the partial derivative of \( f_x \) with respect to \( y \), denoted as \( f_{xy} \).

Step 1: Definición de la función

La función dada es \[ f(x, y) = \sqrt{2x^2 + y^2}. \]

Step 2: Cálculo de la derivada parcial con respecto a \( x \)

Calculamos la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \): \[ f_x = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + y^2}}. \]

Step 3: Cálculo de la derivada mixta \( f_{xy} \)

Ahora, tomamos la derivada parcial de \( f_x \) con respecto a \( y \): \[ f_{xy} = -\frac{2xy}{(2x^2 + y^2)^{3/2}}. \]