Questions: Aula 08: Distribuição de Poisson / Uma equipe de astrônomos está utilizando um radiotelescópio para monitorar possiveis sinais de origem alienigena provenientes de uma estrela distante. Com base em dados históricos, eles estimam que ocorrem, em média, 2 sinais por hora que se enquadram nos critérios de análise. Suponha que.o número de sinais segue uma distribuição de Poisson. Questão (a) : Os astrônomos consideram uma noite de observação ( 8 horas) extremamente produtiva se detectarem pelo menos 20 sinais. Qual é a probabilidade de que a noite seja extremamente produtiva?

A média (\(\mu\)) da distribuição de Poisson é calculada como o produto da taxa média de sinais por hora e o número de horas de observação. Neste caso, temos:

\[ \mu = 2 \, \text{sinais/hora} \times 8 \, \text{horas} = 16 \, \text{sinais} \]

Para determinar a probabilidade de detectar pelo menos 20 sinais, precisamos calcular a probabilidade de detectar 19 ou menos sinais e subtrair esse valor de 1. A probabilidade acumulada (CDF) para \(k = 19\) é dada por:

\[ P(X \leq 19) = 0.8122 \]

Assim, a probabilidade de detectar pelo menos 20 sinais é:

\[ P(X \geq 20) = 1 - P(X \leq 19) = 1 - 0.8122 = 0.1878 \]

Portanto, a probabilidade de que a noite de observação seja extremamente produtiva, ou seja, de detectar pelo menos 20 sinais, é:

\[ P(X \geq 20) \approx 0.1878 \]

A probabilidade de que a noite seja extremamente produtiva é \\(\boxed{0.1878}\\).