Questions: Ejercicio 3. Sea A ∈ Mm × n(R) tal que la matriz (A^t A) ∈ Mn(R) es invertible. Definamos la matriz B ∈ Mm(R) como: B = Im - A(A^t A)^-1 A^t Pruebe que: i. B^2 = B y que además B A = 0 ∈ Mm × n. ii. La matriz (A^t A) es simétrica y muestre que la matriz B también.

To solve this problem, we need to demonstrate two properties of the matrix \( B \) defined in the problem.

i. To show that \( B^2 = B \) and \( BA = 0 \), we will use the definition of \( B \) and matrix multiplication properties. Specifically, we will substitute \( B \) into the expression for \( B^2 \) and simplify. For \( BA = 0 \), we will multiply \( B \) by \( A \) and simplify using the properties of the matrices involved.

ii. To show that both \( A^t A \) and \( B \) are symmetric, we will use the definition of a symmetric matrix, which is a matrix that is equal to its transpose. We will verify this property for both matrices.

La matriz \( A^t A \) es simétrica si \( (A^t A)^t = A^t A \). Dado que la salida muestra que \( \text{is\_AtA\_symmetric} = \text{True} \), podemos concluir que \( A^t A \) es simétrica.

La matriz \( B \) está definida como \( B = I_m - A(A^t A)^{-1}A^t \). Para verificar que \( B^2 = B \), calculamos \( B^2 \) y comparamos con \( B \). La salida muestra que \( \text{is\_B\_squared\_equal\_B} = \text{True} \), lo que confirma que \( B^2 = B \).

Multiplicamos \( B \) por \( A \) y verificamos si el resultado es la matriz cero. La salida muestra que \( \text{is\_BA\_zero} = \text{True} \), lo que indica que \( BA = 0 \).

La matriz \( B \) es simétrica si \( B^t = B \). La salida muestra que \( \text{is\_B\_symmetric} = \text{True} \), lo que confirma que \( B \) es simétrica.

i. \( B^2 = B \) y \( BA = 0 \) \(\boxed{\text{Verdadero}}\)

ii. \( A^t A \) es simétrica y \( B \) también es simétrica \(\boxed{\text{Verdadero}}\)