To solve this problem, we need to find the angle \( A \) in triangle \( \triangle \mathrm{ABC} \) given the ratio of the tangents of the angles \( \tan A : \tan B : \tan C = 1 : 2 : 3 \). We can use the fact that the sum of angles in a triangle is \( 180^\circ \) and the tangent function properties to set up equations and solve for \( A \).
- Use the tangent ratio to express \( \tan A = k \), \( \tan B = 2k \), and \( \tan C = 3k \).
- Use the identity for the sum of angles in a triangle: \( A + B + C = 180^\circ \).
- Use the tangent addition formulas and solve for \( A \).
問題は、三角形 \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\tan A: \tan B: \tan C = 1: 2: 3\) のとき、角 \(A\) の大きさを求めることです。
三角形の内角の和は \(180^\circ\) であるため、\(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\) です。
\[
\tan A = k, \quad \tan B = 2k, \quad \tan C = 3k
\]
とおくと、\(\tan A + \tan B + \tan C = 6k\) です。
三角形の内角に対して、次の関係が成り立ちます：
\[
\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C
\]
したがって、
\[
k + 2k + 3k = k \cdot 2k \cdot 3k
\]
\[
6k = 6k^3
\]
\[
6k = 6k^3 \quad \Rightarrow \quad k^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad k = 1
\]
\(\tan A = k = 1\) なので、\(\angle A = 45^\circ\) です。
\[
\boxed{A = 45^\circ}
\]
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